Родился в 1918 году селе Заольхи Новооскольского района Курской (сейчас Белгородской) области. Всего в семье Нечаевых была шестеро детей, Михаил был старшим из них. Закончив Новооскольскую среднюю школу №1, некоторое время работал в колхозе на различных работах. После призыва в ряды Красной Армии в 1937 году проходил срочную службу в городе Ашхабад в войсках НКВД. Затем был направлен в город Харьков, где окончил военное кавалерийское пограничное училище войск НКВД им. Дзержинского, получив офицерское звание. Сохранились письма, в которых он пишет своим родителям и родственникам о том, как проходит его учеба в Харькове, спрашивает их о том, как обстоят дела дома, как поживают родственники и продвигается работа в колхозе.
С началом Великой Отечественной войны Михаил Ефимович оказывается в составе действующей армии, осенью 1941 года получает очередное воинское звание старший лейтенант и назначается командиром пулеметной роты 2-го стрелкового батальона 917-го стрелкового полка 249-й стрелковой дивизии. В этот период дивизия занимала оборону на дальних подступах к Москве. В последнем письме, написанном 30 декабря 1941 года, он рассказывает родным о последних изменениях на фронте, о своем здоровье, интересуется, хватает ли им тех денег, которые он перечисляет по аттестату.
После перехода войск армии, в которую входила 249-я стрелковая дивизия участвует в боях в районе Селижарово, Хатошино, Пено. 16 января 1942 года в бою за город Андреаполь Нечаев Михаил Ефимович погиб смертью храбрых. Посмертно награжден орденом Красного Знамени. Был похоронен в д. Рогово Калининской (ныне Тверской области). Спустя некоторое время после его гибели Михаила Ефимовича, от командования полка родственникам пришло письмо о том, как погиб их сын и брат:
«Товарищу Нечаеву Ефиму Ивановичу.
В эти дни Советский Союз переживает напряженные, но в тоже время радостные дни: полчища немецкой армии отступают под натиском нашей родной Красной Армии. Бойцы и командиры Красной армии – лучшие сыны нашего великого народа, не щадя своих жизней громят немецких извергов. Михаил Ефимович был одним из таких командиров отдавших свою жизнь за нашу Великую Родину. Нечаев Михаил Ефимович погиб в бою под г. Андреаполь Калининской области и похоронен близ с. Рогово Ленинского района Калининской области. Не печальтесь по сыну Ефим Иванович, он погиб смертью героя выполнив священный долг перед Родиной. Как и в предыдущих, так и в последнем бою под г. Андреаполь Калининской области 16.1.42 г. показал себя мужественным и храбрым командиром, под его командованием уничтожена не одна сотня немецких варваров. Мы его сослуживцы и наш великий народ никогда не забудем смерти Михаила Ефимовича.
За его смерть мы отомстим врагу, мы возьмем от него сотни жизней проклятых фашистов. Желаем Вам Ефим Иванович бодрости и здоровья, будьте мужественны, как и Ваш сын, помогайте нам с тыла поскорее уничтожить ненавистного врага».
Командир 917 СП Андреев Военком 917 СП Гусев
На общем фото Нечаев Михаил Ефимович сидит в центре.