Арсений Етобаев родился в улусе Моголют Иркутский области. Помимо него в семье было ещё 13 детей. С 27 июля 1941 года Арсений — в рядах Красной армии. В сентябре 1941 года оказался на Волховском фронте, где сражался в составе 1238-го стрелкового полка.
Был назначен командиром взвода снабжения 3-го стрелкового батальона. Одновременно с исполнением своих прямых обязанностей, выходил на «снайперскую охоту», уничтожая врагов.
Несмотря на боевой опыт и снайперские данные, А.М. Етобаева продолжали держать во взводе снабжения. Неизвестно, сколько бы это еще продолжалось, не повстречай сибиряк чисто случайно самого К.Е. Ворошилова.
А.М. Етобаев возвращался в полк, как вдруг увидел группу военных. Решил обойти, но его заметили, приказали подойти. Тут А.М. Етобаев и узнал К.Е. Ворошилова. Пока солдат докладывал по форме, маршал пристально его разглядывал. И вдруг спросил: «Кто вы по национальности, товарищ Етобаев?» — «Бурят». — «А в Буркавдивизионе под Читой вы не служили в 1930 году?» — «Так точно, служил!»
К.Е. Ворошилов удовлетворенно кивнул: «Не подводит меня память. Этот забайкалец тогда здорово из нагана отстрелялся».
Узнав, что стрелок командует взводом снабжения и что все просьбы перевести его в снайперы игнорируются, маршал что-то шепнул на ухо командующему Волховским фронтом генералу армии К.А. Мерецкову, и тот кивнул головой.
В это время в небе появился легкий самолет противника — по всей видимости, разведчик. «Как думаете, товарищ Етобаев, можно ли сбить низко летящий самолет из винтовки?» — спросил К.Е. Ворошилов. «Можно!» — уверенно ответил снайпер. «Вот и докажите своим примером, что это можно сделать. Докажете?» «Докажу, товарищ маршал Советского Союза!» — заверил А.М. Етобаев.
14 июня 1942 года лейтенант А.М. Етобаев выполнил наказа Ворошилова, сбил немецкий самолет «Хейнкель-111», а через 4 дня — одномоторный пикирующий бомбардировщик «Юнкерс-87».
Тогда же в типографии газеты «Ленинский путь» была выпущена открытка: на лицевой стороне портрет Арсения Етобаева, а с обратной большими буквами надпись: «Смерть фашистским оккупантам!» И подпись: «Лейтенант А.М. Етобаев. Знатный снайпер систематически занимается подготовкой снайперов, сам уничтожил 148 гитлеровцев».
В августе 1942 года старшина А.М. Етобаев был представлен командованием части к награде — ордену Красного Знамени.
С 1942 по 1943 гг. воевал на передовой и за это время уничтожил 356 фашистов (включая 4 снайперов), сбил 2 самолёта противника. Кроме того, обучил 46 снайперов, которые уничтожили около 2500 солдат противника.
При прорыве блокады Ленинграда 4 раза участвовал в рукопашных боях. За овладение Рабочим посёлком № 8 Арсений Етобаев был награждён орденом Отечественной войны 2-й степени. В конце январе 1943 года получил тяжелое ранение во время снайперской охоты, после чего был отправлен в тыл. Дважды представлялся командованием к званию Героя Советского Союза, но так и не получил его.
После восстановления, в конце 1944 года вернулся на фронт, но воевать на передовой Арсению запретили из-за инвалидности, которую он получил в результате ранения.
В 1945 году, после окончания войны, был уволен в запас. С 1946 года работал участковым инспектором в Хоринском районе. Умер в 1987 году и похоронен в Тульской области, где жил с семьёй последние годы своей жизни.